Question

12．设函数f（x）=|2x-1|+|2x-3|
（1）解不等式：f（x）≤5；
（2）若g（x）=$\frac{1}{f（x）+m}$的定义域为R，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把f（x）的解析式写成分段函数的形式，①令f（x）=5，求得x的值，可得f（x）≤5的解集．
（2）由题意可得 m≠-f（x），再根据f（x）≥2，求得m的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=|2x-1|+|2x-3|=$\left\{\begin{array}{l}{4-4x，x＜\frac{1}{2}}\\{2，\frac{1}{2}≤x≤\frac{3}{2}}\\{4x-4，x＞\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
令f（x）=5，求得x=-$\frac{1}{4}$，或x=$\frac{9}{4}$，故f（x）≤5的解集为[-$\frac{1}{4}$，$\frac{9}{4}$]．
（2）由g（x）=$\frac{1}{f（x）+m}$ 的定义域为R，可得f（x）≠-m，
即 m≠-f（x）．
再根据函数f（x）的单调性可得f（x）≥2，
∴-f（x）≤-2，
故m＞-2．

点评 本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，函数的值域，属于中档题．