Question

13．如图，四边形OABC，ODEF，OGHI是三个全等的菱形，∠COD=∠FOG=∠IOA=60°，设$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OH}$=$\overrightarrow{b}$，已知点P在各菱形边上运动，且$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$，x，y∈R，则x+y的最大值为（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 可以O为坐标原点，GC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，可设菱形的边长为2，从而能求出D，H点的坐标，这样便可得到向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的坐标．可设P（X，Y），根据条件即可得出$x+y=\frac{2\sqrt{3}}{3}Y-X$，这样设x+y=z，X，Y的活动域便是菱形的边上，这样根据线性规划的知识即可求出z的最大值，即求出x+y的最大值．

解答 解：如图，以GC所在直线为x轴，过O且垂直于GC的直线为y轴，建立如图所示坐标系，设菱形的边长为2，则：
D（$1，\sqrt{3}$），H（$-3，-\sqrt{3}$）；
设P（X，Y），则（X，Y）=x（$1，\sqrt{3}$）+y（$-3，-\sqrt{3}$）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{X=x-3y}\\{Y=\sqrt{3}x-\sqrt{3}y}\end{array}\right.$；
∴$x+y=\frac{2\sqrt{3}}{3}Y-X$；
设$z=\frac{2\sqrt{3}}{3}Y-X$；
∴$Y=\frac{\sqrt{3}}{2}X+\frac{\sqrt{3}}{2}z$，$\frac{\sqrt{3}}{2}z$表示在y轴上的截距；
∴当截距最大时，z取到最大值；
根据图形可看出，当直线经过点E（$0，2\sqrt{3}$）时，截距最大；
∴$2\sqrt{3}=0+\frac{\sqrt{3}}{2}z$；
z=4；
∴x+y的最大值为4．
故选B．

点评 考查建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，能求平面上点的坐标，掌握这种引入变量X，Y来表示x+y，从而求x+y最值的方法，利用线性规划求最值的方法及过程．