Question

如图，在四边形ABCD中，AD=8，CD=6，AB=13，∠ADC=90°且

AB

•

AC

=50．
（I）求sin∠BAD的值；
（II）设△ABD的面积为S_△ABD，△BCD的面积为S_△BCD，求

S△ABD

S△BCD

的值．

Answer 1

分析：（I）首先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC=10，并且得出∠CAD的正弦、余弦，再结合AB=13且

AB

•

AC

=50，计算出∠BAC的正弦、余弦，最后利用两角和的正弦公式，可以求出sin∠BAD的值；
（II）根据正弦定理的面积公式，结合（I）中的数据分别求出三角形BAD、三角形BAC、三角形ACD的面积，最后求出三角形BCD，最后可以得到所要的两个三角形的面积的比值．

解答：解：（I）在Rt△ADC中，AD=8，CD=6，
则AC=10，cos∠CAD=

4

5

，sin∠CAD=

3

5

…（1分）
又∵

AB

•

AC

=50，AB=13
∴cos∠BAC=

AB • AC

| AB  ||  AC |

=

5

13

…（2分）
∵0＜∠BAC＜180°，
∴sin∠BAC=

12

13

…（4分）
∴sin∠BAD=sin（∠BAC+∠CAD）
=sin∠BACcos∠CAD+cos∠BACsin∠CAD=

63

65

…（6分）
（II）根据正弦定理的面积公式，可得
三角形BAD的面积为S_△BAD=

1

2

AB•ADsin∠BAD=

252

5

…（8分）
同理，三角形ABC与三角形ACD的面积分别为：
S_△BAC=

1

2

AB•ACsin∠BAC=60，S△ACD=24…（10分）
则S_△BCD=S_△ABC+S_△ACD-S_△BAD=

168

5

∴

S△ABD

S△BCD

=

3

2

…（12分）

点评：本题着重考查了向量在几何中的应用，属于中档题．解题过程中同时运用了正弦定理的面积公式和向量数量积的公式，是高考中的常考知识点．