Question

如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC=60°，AC=7，AD=6，S_△ADC=

15 3

2

，求AB的长．

Answer 1

分析：利用三角形的面积公式求出sin∠DAC的值，即得sin∠BAC的值，从而求得cos∠BAC的值．利用两角差的正弦公式求得sin∠ACB=sin（120°-∠BAC）的值．三角形ABC中，利用正弦定理，即可求出AB的长．

解答：解：∵在△ADC中，已知AC=7，AD=6，S_△ADC=

15 3

2

，
则由S_△ADC=

1

2

•AC•AD•sin∠DAC=

15 3

2

，∴sin∠DAC=

5 3

14

，
故 sin∠BAC=

5 3

14

，cos∠BAC=

11

14

．
由于∠ABC=60°，故sin∠ACB=sin（120°-∠BAC）=sin120°cos∠BAC-cos120°sin∠BAC
=

3

2

×

11

14

-（-

1

2

）×

5 3

14

=

4 3

7

．
△ABC中，由正弦定理可得

AB

sin∠ACB

=

AC

sin∠B

，即

AB

4 3 7

=

7

3 2

，解得AB=8．

点评：此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，角平分线的性质，三角形的内角和定理，以及两角差的正弦公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．