Question

如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC=60°，AC=6，AD=5，S_△ADC=

15

2

，求AB的长．

Answer 1

分析：利用三角形的面积公式表示出三角形ADC的面积，把AC，AD的值代入，求出sin∠DAC的值，由∠DAC为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出∠DAC的度数，根据AC为角平分线，得到∠DAC=∠BAC，可得出∠BAC的度数，由∠ABC的度数，利用三角形的内角和定理求出∠ACB的度数，由AC，sin∠ABC，以及sin∠ACB的值，利用正弦定理即可求出AB的长．

解答：解：在△ADC中，已知AC=6，AD=5，S_△ADC=

15

2

，
则由S_△ADC=

1

2

•AC•AD•sin∠DAC，
∴sin∠DAC=

1

2

，又∠DAC为三角形的内角，
∴∠DAC=30°或150°，
若∠DAC=150°，又AC为∠DAB的平分线，
得∠BAC=∠DAC=150°，又∠ABC=60°，
∴∠BAC+∠ABC=210°，矛盾，
∴∠DAC=150°不合题意，舍去，
∴∠BAC=∠DAC=30°，又∠ABC=60°，
∴∠ACB=90°，又AC=6，
∴由正弦定理

AB

sin∠ACB

=

AC

sin∠ABC

得：AB=

12× 1 2

3 2

=4

3

．

点评：此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，角平分线的性质，三角形的内角和定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．