题目内容

已知方向向量为 $数学公式$ 的直线l过椭圆C： $数学公式$ 的焦点以及点（0，-2 $数学公式$ ），椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上．
（1）求椭圆C的方程．
（2）是否存在过点E（-2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，使△MON的面积为 $数学公式$ ，（O为坐标原点）？若存在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．

解：（1）直线l：y= $\text{[math]}$ x-2 $\text{[math]}$ ①，过原点垂直于l的直线方程为 $\text{[math]}$ ②
解①②得x= $\text{[math]}$ ．
∵椭圆中心O（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，
∴ $\text{[math]}$ ，
∵直线l过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0），
∴c=2，a²=6，b²=2，故椭圆C的方程为 $\text{[math]}$ ③
（2）当直线m的斜率存在时，设m：y=k（x+2）代入③并整理得（3k²+1）x²+12k²x+12k²-6=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，x₁x₂= $\text{[math]}$
∴|MN|= $\text{[math]}$ |x₁-x₂|= $\text{[math]}$ ，
点O到直线m的距离d= $\text{[math]}$ ，
∵△MON的面积为 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
∴k= $\text{[math]}$ ，此时m：y= $\text{[math]}$
当直线m的斜率不存在时，m：x=-2，也有△MON的面积为 $\text{[math]}$ ；
故存在直线m满足题意，其方程为 $\text{[math]}$ 或x=-2．
分析：（1）利用椭圆中心O（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，及直线l过椭圆焦点，确定几何量，即可求得椭圆C的方程；
（2）分类讨论，利用韦达定理，结合△MON的面积为 $\text{[math]}$ ，即可求得结论．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查三角形面积的计算，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．