Question

已知方向向量为的直线过椭圆C：＝1(a＞b＞0)的焦点以及点(0，)，椭圆C的中心关于直线的对称点在椭圆C的右准线上。

⑴求椭圆C的方程。

⑵过点E(-2，0）的直线交椭圆C于点M、N，且满足，(O为坐标原点)，求直线的方程。

Answer 1

（1）椭圆C的方程为

（2）直线的方程为  

解析:

⑴直线①，过原点垂直于的直线方程为②

解①②得，∵椭圆中心O(0，0)关于直线的对称点在椭圆C的右准线上，

∴， …………………（2分）

∵直线过椭圆焦点，∴该焦点坐标为(2，0)，∴，

故椭圆C的方程为  ③…………………（4分）

⑵当直线的斜率存在时，设 ，代入③并整理得

，设，

则……………（5分）

∴，……（7分）

 点到直线的距离.

 ∵，即，

 又由  得  ，

∴，…………………………（9分）

而，∴，即，

 解得，此时  …………………………………（11分）

当直线的斜率不存在时，，也有，

经检验，上述直线均满足，

故直线的方程为