题目内容
如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB=20米，AD=10
米，记∠BHE=θ．（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；
（2）问：当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．
【答案】分析：（1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由 L=EH+FH+EF得到污水净化管道的长度L的函数解析式，并注明θ的范围．
（2）设sinθ+cosθ=t，根据函数 L=
在[
，
]上是单调减函数，可求得L的最大值．
解答：解：（1）由题意可得EH=
，FH=
，EF=
，由于 BE=10tanθ≤10
，AF=
≤10
，
而且
≤tanθ≤
，θ∈[
，
]，
∴L=
+
+
，θ∈[
，
]．
即L=10×
，θ∈[
，
]．
（2）设sinθ+cosθ=t，则 sinθcosθ=
，由于θ∈[
，
]，∴sinθ+cosθ=t=
sin（θ+
）∈[
，
]．
由于L=
在[
，
]上是单调减函数，∴当t=
时，即 θ=
或θ=
时，L取得最大值为 20（
+1）米．
点评：本题主要考查在实际问题中建立三角函数的模型，利用三角函数的单调性求三角函数的最值，属于中档题．
（2）设sinθ+cosθ=t，根据函数 L=
在[，]上是单调减函数，可求得L的最大值．解答：解：（1）由题意可得EH=
，FH=，EF=，由于 BE=10tanθ≤10，AF=≤10，而且
≤tanθ≤，θ∈[，]，∴L=
++，θ∈[，]．即L=10×
，θ∈[，]．（2）设sinθ+cosθ=t，则 sinθcosθ=
，由于θ∈[，]，∴sinθ+cosθ=t=sin（θ+）∈[，]．由于L=
在[，]上是单调减函数，∴当t=时，即 θ= 或θ= 时，L取得最大值为 20（+1）米．点评：本题主要考查在实际问题中建立三角函数的模型，利用三角函数的单调性求三角函数的最值，属于中档题．
练习册系列答案
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如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB=20米，
（2009•浦东新区一模）如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越短，铺设管道的成本越低．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB=20米，
如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB=20米，AD=10
如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB=20米，
米，记∠BHE=θ．
，求此时管道的长度L；
的池底水平铺设污水净化管道
，
是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口
的中点，
分别落在线段
上.已知
米，
米，记
.
表示为
的函数,并写出定
，求此时管道的长度