题目内容

数列{an}满足：a1=3，an+1=an2-2an+2（n∈N*）
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：数列{an}中的任两项互质．
（3）记，Sn为数列{bn}的前n项和，求S2009的整数部分．
【答案】分析：（1）由an+1=an2-2an+2可得，an-1=（an-1-1）2，利用迭代的方法可求通项公式
（2）由an-2=an-1（an-1-2），利用迭代法可得，an=an-1an-2…a2a1+2，结合（1）中的通项公式可知an为奇数，可证明
（3）由an+1-2=an（an-2），可得，结合已知，可得，利用叠加法可求S2009，从而可求
解答：解：（1）由题意可得，
当也成立，所以（5分）
证明：（2）因为an-2=an-1（an-1-2）=an-1an-2（an-2-2）=…=an-1an-2…a2a1
所以an=an-1an-2…a2a1+2，（9分）；
因为an为奇数，所以对任意的n＞1，an与前面项a1，a2，…，an-1均互质．（12分）．
解：（3）因为an+1-2=an（an-2）
所以，=
所以，又因为，
所以16分）；
所以S2009=b1+b2+…+b2009
=
∴
∵
∴
所以S2009的整数部分为1（19分）．
点评：本题主要考查了数列中迭代法求解数列的通项公式，叠加法求解数列的和，解题中要求考生具备一定的逻辑推理与运算的能力．
练习册系列答案
相关题目
设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c（n∈N*），其中a，c为实数，且c≠0．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设a=
1
2
，c=
1
2
，bn=n(1-an)(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn．
数列{an}满足a1=a，an+1=
an+3
2
，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）若an+1=an，求a的值；
（Ⅱ）当a=
1
2
时，证明：an＜
3
2
；
（Ⅲ）设数列{an-1}的前n项之积为Tn．若对任意正整数n，总有（an+1）Tn≤6成立，求a的取值范围．
（2011•天津模拟）设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c（n∈N*），其中a，c为实数，且c≠0．
（1）求证：a≠1时数列{an-1}是等比数列，并求an；
（2）设a=
1
2
c=
1
2
，bn=n(1-an)(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn；
（3）设a=
3
4
，c=-
1
4
，cn=
3+an
2-an
(n∈N*)，记dn=c2n-c2n-1(n∈N*)，设数列{dn}的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都有Tn＜
5
3
．
（2009•大连二模）已知a为实数，数列{an}满足a1=a，当n≥2时，an=
an-1-4 (an-1＞4)
5-an-1 (an-1≤4)

（I）当a=200时，填写下列表格；
N 2 3 51 200
an
（II）当a=200时，求数列{an}的前200项的和S200；
（III）令b n=
an
(-2)n
，Tn=b1+b2…+bn求证：当1＜a＜
5
3
时，T n＜
5-3a
3
．
已知常数a、b都是正整数，函数f(x)=
x
bx+1
（x＞0），数列{an}满足a1=a，
1
an+1
=f(
1
an
)（n∈N*）
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若a=8b，且等比数列{bn}同时满足：①b1=a1，b2=a5；②数列{bn}的每一项都是数列{an}中的某一项．试判断数列{bn}是有穷数列或是无穷数列，并简要说明理由；
（3）对问题（2）继续探究，若b2=am（m＞1，m是常数），当m取何正整数时，数列{bn}是有穷数列；当m取何正整数时，数列{bn}是无穷数列，并说明理由．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网