题目内容

（2011•天津模拟）设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c（n∈N*），其中a，c为实数，且c≠0．
（1）求证：a≠1时数列{an-1}是等比数列，并求an；
（2）设a=
1
2
c=
1
2
，bn=n(1-an)(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn；
（3）设a=
3
4
，c=-
1
4
，cn=
3+an
2-an
(n∈N*)，记dn=c2n-c2n-1(n∈N*)，设数列{dn}的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都有Tn＜
5
3
．
分析：（1）由an+1=can+1-c可知 an+1-1=c（an-1）故a≠1时数列{an-1}是首项为a-1公比为c的等比数列故可求出即  an=（a-1）cn-1+1
（2）由（1）知bn=n(
1
2
)n则由通项公式的结构知应利用错位相减法求前n项和Sn
（3）由（1）知 cn=
3+an
2-an
= 4+ 
5
(-4)n-1
故可得dn的表达式为dn=c2n-c2n-1=
25×16n
(16n-1)(16n+4)
而要证明的结论为对任意正整数n都有Tn＜
5
3
故dn的表达式需要变形．而（16n-1）（16n+4）=（16n）2-3×16n-4故对所有的n都有（16n-1）（16n+4）=（16n）2-3×16n-4＞（16n）2故dn＜
25
16n
则可求证出Tn＜25×(
1
16
+
1
162
+…+
1
16n
)=
5
3
(1-
1
16n
)＜
5
3
解答：解：（1）∵an+1=can+1-c
∴an+1-1=c（an-1）
∴a≠1时数列{an-1}是首项为a-1公比为c的等比数列
∴an-1=（a-1）cn-1即an=（a-1）cn-1+1
（2）由（1）得当a=
1
2
，c=
1
2
时bn=n(
1
2
)n
∴sn=
1
2
+2(
1
2
)2+…+n(
1
2
)n
∴
1
2
sn=(
1
2
)2+…+n(
1
2
)2
        两式作差得sn=
1-(
1
2
)2
1-
1
2
-n(
1
2
)n=2-
n+2
2n

（3）∵cn=
3+an
2-an
= 4+ 
5
(-4)n-1

∴dn=c2n-c2n-1=
25×16n
(16n-1)(16n+4)
=
25×16n
(16n)2+3×16n-4
＜
25×16n
(16n)2
=
25
16n

∴Tn＜25×(
1
16
+
1
162
+…+
1
16n
)=
5
3
(1-
1
16n
)＜
5
3
点评：此题主要考查了数列与不等式的综合．第一问需要将递推关系式an+1=can+1-c变形为 an+1-1=c（an-1）这是根据第一问的要求变形的这也是平时做题的一个常用技巧“由果索因”．第二问可以在第一问的基础上求出数列{bn}的通项公式在观察其特征后采用错位相减法求前n项和因此第一问的正确求解就显得十分重要了．第三问需要对数列{dn}的通项公式进行放缩，这一步技巧性较大需要平时的大量积累！
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