Question

1．已知四点A（1，7），B（-5，6），C（-4，0），D（2，1），判断四边形ABCD的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{DC}$得出四边形ABCD是平行四边形；由$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=0得出平行四边形ABCD是菱形；由|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BD}$|得出菱形ABCD是正方形．

解答 解：四边形ABCD是菱形．
∵A（1，7），B（-5，6），C（-4，0），D（2，1），
∴$\overrightarrow{AB}$=（-6，-1），$\overrightarrow{DC}$=（-6，-1）；
∴$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{DC}$，即AB∥CD，且AB=CD；
∴四边形ABCD是平行四边形；
又$\overrightarrow{AC}$=（-5，-7），$\overrightarrow{BD}$=（7，-5），
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=-5×7-7×（-5）=0，
∴$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{BD}$，
∴平行四边形ABCD是菱形；
又|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BD}$|=$\sqrt{74}$，
∴菱形ABCD是正方形．

点评 本题考查了平面向量的坐标表示，也考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题目．