Question

6．若点p、A、B依次是满足|z-1|=2Rez-$\frac{1}{2}$、|z+1|=1、|z-1|=$\frac{1}{4}$的复数z在复平面上对应的点，则|PA|-|PB|的最大值是$\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 求出P的轨迹方程，A、B满足的轨迹方程，利用|PA|-|PB|的几何意义求出最大值即可．

解答 解：点p、A、B依次是满足|z-1|=2Rez-$\frac{1}{2}$、|z+1|=1、|z-1|=$\frac{1}{4}$的复数z在复平面上对应的点，
可知P，满足（x-1）²+y²=（2x-$\frac{1}{2}$）²；可得：3x²-y²=$\frac{3}{4}$，即$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{3}{4}}=1$．焦点坐标（-1，0），（1，0）
A满足：（x+1）²+y²=1，圆心F₁（-1，0），半径为1．
B满足：（x-1）²+y²=$\frac{1}{16}$，圆心F₂（1，0）半径为$\frac{1}{4}$．
|PA|-|PB|的最大值为：|PF₁|+1-|PF₂|-$\frac{1}{4}$=1+1-$\frac{1}{4}$=$\frac{7}{4}$．
故答案为：$\frac{7}{4}$．

点评 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查数形结合的解题思想方法，关键是对题意的理解，属中档题．