Question

已知点M（2，0），P为抛物线C：y²=2px（p＞0）上一动点，若|PM|的最小值为．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知⊙M：（x-2）²+y²=r²（r＞0），过原点O作⊙M的两条切线交抛物线于A，B两点，若直线AB与⊙M也相切．
（i）求r的值；
（ii）对于点Q（t²，t），抛物线C上总存在两个点R，S，使得△QRS三边与⊙M均相切，求t的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）点M（2，0），P为抛物线C：y²=2px（p＞0）上一动点，设P（，y），所以|PM|²=（-2）²+y²=y⁴+（1-）y²+4，由此能求出抛物线C的方程．
（2）（i）由题意A（2+r，），B（2+r，-），知，由此能求出r．
（ii）设，则，△QRS三边与⊙M均相切，故，由此能求出t．
解答：解：（1）∵点M（2，0），P为抛物线C：y²=2px（p＞0）上一动点，设P（，y），
∴|PM|²=（-2）²+y²=y⁴+（1-）y²+4，
∴对称轴为y²=2p（2-p）．
当p≥2，|PM|_min=2，舍
当0＜p＜2，，解得或（舍），
所以y²=x．
（2）（i）由题意A（2+r，），B（2+r，-），
∴，
OA：y=，∴，
∴（r-1）（r+2）²=1，
解得r=1．
（ii）设，则
∵△QRS三边与⊙M均相切，
∴，从而，将t₁换成t₂也成立
因为t₁≠t₂，所以t²≠1
故t₁，t₂为方程（1-t²）x²-2tx+t²-3=0的两根，
∴，
故，即，
圆心到RS的距离，
解得t=±1．
故t的取值范围是{-1，1}．
点评：本题考查抛物线方程的求法，考查实数值的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意点到直线的距离公式的求法．