Question

已知点M（-2，0），N（2，0），动点P满足条件|PM|-|PN|=2

2

．记动点P的轨迹为W．
（1）求W的方程；
（2）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求

OA

•

OB

的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用双曲线的定义，可求W的方程；
（2）设点的坐标，利用向量的数量积公式，结合基本不等式，可求

OA

•

OB

的最小值．

解答：解：（1）据题意M（-2，0），N（2，0），动点P满足条件|PM|-|PN|=2

2

，
∴|PM|-|PN|=2

2

＜4
∴动点P的轨迹为双曲线的右支，且c=2，a=

2

，
∴曲线方程为x²-y²=2（x≥

2

）；
（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），x₁≥

2

，x₂≥

2

，则x₁x₂≥2
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂≥x₁x₂-

x12-2

×

x22-2

≥

(x1x2-2)2

=x₁x₂-|x₁x₂-2|
=x₁x₂-（x₁x₂-2）=2
∴

OA

•

OB

的最小值是2．

点评：本题考查轨迹方程，考查双曲线的定义，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．