Question

已知函数．
（1）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性并证明；
（2）求f（x）在区间[1，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

解：（1）函数f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．（2分）
证明如下：
设x₁、x₂是区间（0，+∞）上任意两个实数，且x₁＜x₂，则（1分）f（x₁）-f（x₂）==（3分）
∵x₂＞x₁＞0
∴x₁+x₂＞0、x₂-x₁＞0、（x₁x₂）²＞0（1分）
∴f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂）
所以函数f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．（1分）
（2）由（1）知函数f（x）在区间[1，3]上是减函数，（1分）
所以当x=1时，取最大值，最大值为f（1）=2
当x=3时，取最小值，最小值为（3分）
分析：（1）函数f（x）在区间（0，+∞）上是减函数，然后设x₁、x₂是区间（0，+∞）上任意两个实数，且x₁＜x₂，最后判定f（x₁）-f（x₂）的符号，得到结论；
（2）利用函数在区间[1，3]上的单调性可求出函数最大值和最小值．
点评：本题考查求函数单调性判断和证明，属基本题型、基本方法的考查，难度不大．解答关键是化简变形．