Question

已知a为实数，。

⑴求导数；

⑵若，求在[－2，2] 上的最大值和最小值；

⑶若在(－∞，－2)和（2，+∞）上都是递增的，求a的取值范围。

 

Answer 1

【答案】

⑴

⑵f(x)在[－2,2]上的最大值为最小值为

⑶a的取值范围是[－2,2]. 

【解析】

试题分析：⑴由原式得∴

⑵由 得,此时有.

由得或x="-1" , 又

所以f(x)在[－2,2]上的最大值为最小值为

⑶解法一:的图象为开口向上且过点(0,－4)的抛物线,由条件得

即 ∴－2≤a≤2.

所以a的取值范围为[－2,2].

解法二:令即 由求根公式得:

所以在和上非负.

由题意可知,当x≤-2或x≥2时, ≥0,

从而x₁≥-2,  x₂≤2,

即 解不等式组得－2≤a≤2.

∴a的取值范围是[－2,2]. 

考点：导数计算，利用导数研究函数的单调性、极值、最值。

点评：中档题，此类问题较为典型，是导数应用的基本问题。在某区间，导函数值非负，函数为增函数，导函数值非正，函数为减函数。求最值应遵循“求导数，求驻点，计算极值及端点函数值，比较确定最值”。