Question

（2009•青浦区二模）已知a为实数，函数f（θ）=sinθ+a+3．
（1）若f（θ）=cosθ（θ∈R），试求a的取值范围；
（2）若a＞1，g(θ)=

3(a-1)

sinθ+1

，求函数f（θ）+g（θ）的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据题意可知sinθ-cosθ=-3-a，然后根据辅助角公式求出sinθ-cosθ的范围，从而求出a的范围；
（2）讨论a，当1＜a≤

7

3

时利用基本不等式求出函数的最值，当a＞

7

3

时利用函数的单调性求出最值即可．

解答：解：（1）f（θ）=cosθ即sinθ-cosθ=-3-a，又sinθ-cosθ=

2

sin(θ-

π

4

)，（2分）
所以-

2

≤a+3≤

2

，从而a的取值范围是[-3-

2

，-3+

2

]．      …（5分）
（2）f(θ)+g(θ)=(sinθ+1)+

3(a-1)

sinθ+1

+a+2，令sinθ+1=x，则0＜x≤2，因为a＞1，
所以x+

3(a-1)

x

≥2

3(a-1)

，当且仅当x=

3(a-1)

时，等号成立，（8分）
由

3(a-1)

≤2解得a≤

7

3

，所以当1＜a≤

7

3

时，函数f（θ）+g（θ）的最小值是2

3(a-1)

+a+2； …（11分）
下面求当a＞

7

3

时，函数f（θ）+g（θ）的最小值．
当a＞

7

3

时，

3(a-1)

＞2，函数h(x)=x+

3(a-1)

x

在（0，2]上为减函数．
所以函数f（θ）+g（θ）的最小值为2+

3(a-1)

2

+a+2=

5(a+1)

2

．            …（12分）
当a＞

7

3

时，函数h(x)=x+

3(a-1)

x

在（0，2]上为减函数的证明：任取0＜x₁＜x₂≤2，h(x2)-h(x1)=(x2-x1)[1-

3(a-1)

x2x1

]，因为0＜x₂x₁≤4，3（a-1）＞4，
所以1-

3(a-1)

x2x1

＜0，h（x₂）-h（x₁）＜0，由单调性的定义函数h(x)=x+

3(a-1)

x

在（0，2]上为减函数．
于是，当1＜a≤

7

3

时，函数f（θ）+g（θ）的最小值是2

3(a-1)

+a+2；
当a＞

7

3

时，函数f（θ）+g（θ）的最小值

5(a+1)

2

．                               …（15分）

点评：本题主要考查了函数的值域，以及利用基本不等式求最值和利用函数单调性求最值，属于中档题．