Question

已知a为实数，p：点M（1，1）在圆（x+a）²+（y-a）²=4的内部； q：?x∈R，都有x²+ax+1≥0．
（1）若p为真命题，求a的取值范围；
（2）若q为假命题，求a的取值范围；
（3）若“p且q”为假命题，且“p或q”为真命题，求a的取值范围．

Answer 1

分析：对于命题p为真，要利用点与圆的位置关系；对于命题q为真，要利用一元二次函数图象的特点，最后利用复合命题真假解决．

解答：解：（1）∵p：点M（1，1）在圆（x+a）²+（y-a）²=4的内部
∴（1+a）²+（1-a）²＜4，解得-1＜a＜1，
故p为真命题时a的取值范围为（-1，1）．                       
（2）∵q：?x∈R，都有x²+ax+1≥0
∴若q为真命题，则△=a²-4≤0，解得-2≤a≤2，
故q为假命题时a的取值范围（-∞，-2）∪（2，+∞）．               
（3）∵“p且q”为假命题，且“p或q”为真命题
∴p与q一真一假，从而
①当p真q假时有

-1＜a＜1 a＜-2或a＞2

，无解；
②当p假q真时有

a≤-1或a≥1 -2≤a≤2

，解得-2≤a≤-1或1≤a≤2．   
∴实数a的取值范围是[-2，-1]∪[1，2]．

点评：此题考查复合命题真假，此外考查点与圆的位置关系的判别，一元二次函数等问题．