题目内容

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+4x．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知a为实数，且f（a2-a）＜f（4a-4），求函数g（x）=
x
（x-a）在区间[0，2]上的最小值．
分析：（1）利用奇函数的定义即可求得当x＜0时的解析式．
（2）据函数f（x）的解析式，先证明函数f（x）在R上的单调性，即可求出a的取值范围．再对函数g（x）求导并求出极值，进而可求得最小值．
解答：解1）设x＜0，则-x＞0，由已知可得：f（-x）=（-x）2-4x．
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-（x2-4x）=-x2+4x．
所以函数的解析式为：f(x)=
x2+4x，当x≥0时
-x2+4x，当x＜0时
．
（2）当x≥0时，f（x）=（x+2）2-4，∴函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增；
同理可得：当x＜0时，函数f（x）在区间（-∞，0）上单调递增．由函数f（x）在x=0时连续，
∴函数f（x）在R上单调递增．
∵实数a满足f（a2-a）＜f（4a-4），
∴a2-a＜4a-4，解得1＜a＜4．
令
x
=t，∵x∈[0，2]，∴t∈[0，
2
]．
∴y=t（t2-a），∴y′=3t2-a．
令y′=0，则t=
a
3
，
又∵1＜a＜4，∴
1
3
＜
a
3
＜
4
3
，∴t=
a
3
∈[0，
2
]．
当t∈[0，
a
3
)时，y′＜0；当t∈(
a
3
，
2
]时，y′＞0．
∴函数y=t3-at在区间[0，
a
3
]上单调递减；在区间[
a
3
，
2
]上单调递增．
∴函数y=t3-at在t=
a
3
，即x=
a
3
时取得最小值为-
2a
3a
9
．
点评：本题综合考查了函数的奇偶性、单调性及最值，充分理解以上性质和掌握利用导数求最值的方法是解决问题的关键．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=
2x+2-x
2
，g（x）=
2x-2-x
2
，
（1）计算：[f（1）]2-[g（1）]2；
（2）证明：[f（x）]2-[g（x）]2是定值．
精英家教网已知函数f（x）=x+
a
x
的定义域为（0，+∞），且f（2）=2+
2
2
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已知函数f（x）=log3
3
x
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1
2
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=
OM
+
ON
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（Ⅱ）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
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n-1
n
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（Ⅲ）已知an=
1
6
，                          n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
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已知函数f（x）=log3
3
x
1-x
，M（x1，y1），N（x2，y2）是f（x）图象上的两点，且x1+x2=1．
（1）求证：y1+y2为定值；
（2）若Sn=f（
1
n
）+f（
2
n
）+…+f（
n-1
n
）（n∈N*，N≥2），求Sn；
（3）在（2）的条件下，若an=
1
6
 ，n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
（n∈N*），Tn为数列{an}的前n项和．求Tn．
已知函数f（x）=sin（2x-
π
6
），g（x）=sin（2x+
π
3
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