Question

【题目】已知，将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，得到函数的图象．

（1）求函数的表达式；

（2）当时，求在区间上的最大值和最小值；

（3）若函数在上的最小值为，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）．

【解析】

（1）根据平移变换“左加右减，上加下减”，即可求得函数；

（2）当时，函数是一个以为对称轴，开口向上的二次函数，由二次函数的图象和性质即可求得其在区间上的最大值与最小值；

（3）由于函数是以为对称轴，开口向上的二次函数，定义域为，故需要讨论对称轴与定义域区间的位置关系，才能确定函数的最小值，由此列出分段函数，最后求这个分段函数的最大值即可.

（1），将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，得到函数的图象．

根据平移变换可得：函数的表达式为

（2）由（1）可知

故：当时，．

根据二次函数知识可得：是以对称轴为，开口向上的二次函数

当时，；

当时，．

（3）函数的对称轴为．

①当，即时，

函数在上为增函数，

；

②当，即时，．

当且仅当取等号，即

故当时，

③当，即时，

函数在上为减函数，

，

综上可知，

当时，函数的最大值为．