题目内容
【题目】如图，已知平面
平行于三棱锥
的底面
，等边
所在的平面与底面垂直，且
，设
（1）求证：
且
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（1）
【解析】
（1）由平面
∥平面
，根据面面平行的性质定理，可得
，
，再由
，得到
.由平面
平面，根据面面垂直的性质定理可得
平面
，从而有
.
（2）过
作
于
，根据题意有
平面
，过D作
于H，连结AH，由三垂线定理知
，所以
是二面角
的平面角.然后在在
中，在中，利用三角形相似求得
再在
求解.
（1）证明：∵平面∥平面，
∴，，
∵，
，
又∵平面平面，平面
平面
，
∴平面，
平面，
∴.
（2）过作于，
∵
为正三角形，
∴D为
中点，
∵平面
∴
又∵
，
∴平面.
在等边三角形中，
，
过D作于H，连结AH，
由三垂线定理知，
∴是二面角的平面角.
在中，
～
，
，
∴
，
，
∴
.
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【题目】2019年底，湖北省武汉市等多个地区陆续出现感染新型冠状病毒肺炎的患者.为及时有效地对疫情数据进行流行病学统计分析，某地研究机构针对该地实际情况，根据该地患者是否有武汉旅行史与是否有确诊病例接触史，将新冠肺炎患者分为四类：有武汉旅行史（无接触史），无武汉旅行史（无接触史），有武汉旅行史（有接触史）和无武汉旅行史（有接触史），统计得到以下相关数据.
（1）请将列联表填写完整：
有接触史 | 无接触史 | 总计 | |
有武汉旅行史 | 27 | ||
无武汉旅行史 | 18 | ||
总计 | 27 | 54 |
（2）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为有武汉旅行史与有确诊病例接触史有关系？
附：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
