Question

17．已知定义域为I的函数f（x），若存在开区间（a，b）⊆I和正的常数c，使得任意x∈（a，b）都有-c＜f（x）＜c，且对任意x∉（a，b）都有|f（x）|=c恒成立，则称f（x）为区间I上的“Z型”函数，给出下列函数：①f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2，x≤1}\\{4-2x，1＜x＜3}\\{-2，x≥3}\end{array}\right.$；②f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x}，x≥0}\\{0，x＜0}\end{array}\right.$；③f（x）=|sinx|；④f（x）=x+cosx，其中是区间I上的“Z型”函数的是①（只需写出序号即可）

Answer 1

分析 ①根据题中的定义，逐步判断即可；
②④在x取无穷大时，函数值也为无穷大，③根据函数的图象显然可判断．

解答 解：①当x∈（1，3）时，f（x）=4-2x，则-2＜f（x）＜2；
当x∈[3，+∞）时，f（x）=-2，当x∈（-∞，1]时，f（x）=2，
∴|f（x）|=2；即满足对任意的x∈（1，3）都有-C＜f（x）＜C，
且对任意的x∉（1，3）都有|f（x）|=C恒成立，
即①为R上的“Z型”函数，故正确；
②④在x取无穷大时，函数值也为无穷大，
故不存在对任意的x∉（a，b）都有|f（x）|=C恒成立，故不是“Z型”函数，错误；
③根据函数的图象知函数为周期函数，虽然有最值，但不符合题中的条件，
不满足对任意的x∈（a，b）都有-C＜f（x）＜C，且对任意的x∉（a，b）都有|f（x）|=C恒成立，
故错误．
故答案为：①．

点评 考查了对新定义函数的理解，紧扣定义，利用定义判断是否符合定义是关键．