Question

设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，则
（1）A点到面BDD₁B₁的距离为

 

；
（2）A点到面A₁BD的距离为

 

；
（3）AA₁与面BB₁D₁D的距离为

 

．

Answer 1

分析：（1）欲求A点到面BDD₁B₁的距离，连接AC交BD于O，则AO即为A点到面BDD₁B₁的距离，求出AO的长即得；
（2）欲求A点到面A₁BD的距离，根据三棱锥A-₁BD的体积公式可求得．
（3）AA₁与面BB₁D₁D的距离可以转化为A点到面BDD₁B₁的距离，即

2

2

．

解答：解：（1）连接AC交BD于O，则AO即为A点到面BDD₁B₁的距离，且长度为

2

2

；
（2）设A点到面A₁BD的距离为d，根据三棱锥的体积公式得：
V=

1

3

×S ×d，其中V=

1

3

×

1

2

×1³=

1

6

，S=

3

4

(

2

)2=

3

2

∴d=

3

3

．
（3）AA₁与面BB₁D₁D的距离即为A点到面BDD₁B₁的距离，即

2

2

．
故答案为：

2

2

，

3

3

，

2

2

．

点评：本题主要考查了点、线、面间的距离计算以及空间想象能力、等价转化的能力，属于基础题．