题目内容
（2011•许昌三模）已知四棱锥S-ABCD中，AB=BC=CD=DA=SA=2，底面ABCD是正方形，SD=SB=2| 2 |
（I）在该四棱锥中，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在，请给出证明；
（Ⅱ）用多少个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1？说明你的结论．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1的中点为N，棱DD1的中点为M，求二面角A-MN-C的大小的余弦值．
分析：（I）根据勾股定理的逆定理，证出SA⊥AB且SA⊥AD，结合线面垂直判定定理证出SA⊥平面ABCD，从而得到结论：该四棱锥中存在侧棱垂直于底面；
（II）根据正方体的定义与构造，并且作出示意图，可得正方体ABCD-A1B1C1D1由四棱锥A1-ABCD、四棱锥A1-B1BCC1和四棱锥A-DD1CC1组合而成；
（III）由正方体的性质，可得△ANM与△CNM都等腰三角形，由“三线合一”证出AO⊥MN且CO⊥MN，可得∠AOC就是二面角A-MN-C的平面角，再在△OMN中运用余弦定理即可算出二面角A-MN-C的余弦值．
（II）根据正方体的定义与构造，并且作出示意图，可得正方体ABCD-A1B1C1D1由四棱锥A1-ABCD、四棱锥A1-B1BCC1和四棱锥A-DD1CC1组合而成；
（III）由正方体的性质，可得△ANM与△CNM都等腰三角形，由“三线合一”证出AO⊥MN且CO⊥MN，可得∠AOC就是二面角A-MN-C的平面角，再在△OMN中运用余弦定理即可算出二面角A-MN-C的余弦值．
解答：解：（I）该四棱锥中，存在侧棱垂直于底面：SA⊥平面ABCD
∵SA=AB=2，AB=2
，
∴SA2+AB2=8=AB2，可得SA⊥AB
同理可得SA⊥AD，
∵AB、AD是平面ABCD内的相交直线
∴SA⊥平面ABCD；
（II）用三个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为2
的正方体ABCD-A1B1C1D1
它们分别为：四棱锥A1-ABCD（侧棱AA1⊥平面ABCD），
四棱锥A1-B1BCC1（A1B1⊥平面B1BCC1），
四棱锥A-DD1CC1（A1D1⊥平面DD1CC1）．它们的图形如右图所示；
（III）根据正方体的对称性，得正方体ABCD-A1B1C1D1中，
△ANM与△CNM都等腰三角形，
设O为MN的中点，连结AO、CO、AC，则
∵AO、CO分别是等腰△ANM与△CNM的底边MN上的中线
∴AO⊥MN且CO⊥MN，可得∠AOC就是二面角A-MN-C的平面角
∵△AOC中，AO=CO=
，AC=2
∴根据余弦定理，得
cos∠AOC=
=
=-
因此，二面角A-MN-C的余弦值等于-
．
∵SA=AB=2，AB=2
| 2 |
∴SA2+AB2=8=AB2，可得SA⊥AB
同理可得SA⊥AD，
∵AB、AD是平面ABCD内的相交直线
∴SA⊥平面ABCD；
（II）用三个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为2
的正方体ABCD-A1B1C1D1
它们分别为：四棱锥A1-ABCD（侧棱AA1⊥平面ABCD），
四棱锥A1-B1BCC1（A1B1⊥平面B1BCC1），
四棱锥A-DD1CC1（A1D1⊥平面DD1CC1）．它们的图形如右图所示；
（III）根据正方体的对称性，得正方体ABCD-A1B1C1D1中，
△ANM与△CNM都等腰三角形，
设O为MN的中点，连结AO、CO、AC，则
∵AO、CO分别是等腰△ANM与△CNM的底边MN上的中线
∴AO⊥MN且CO⊥MN，可得∠AOC就是二面角A-MN-C的平面角
∵△AOC中，AO=CO=
| 3 |
| 2 |
∴根据余弦定理，得
cos∠AOC=
| AO2+CO2-AC2 |
| 2×AO×CO |
| 3+3-8 | ||||
2×
|
| 1 |
| 3 |
因此，二面角A-MN-C的余弦值等于-
| 1 |
| 3 |
点评：本题给出特殊四棱锥，求证线面垂直并求二面角的大小，着重考查了直线与平面垂直的判定定理、二面角的定义与求法和正方体的性质等知识，属于中档题．
练习册系列答案
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