Question

8．已知|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=2，对任意x∈R，若不等式|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow{b}$|≥1恒成立，则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的取值范围是$[{-2\sqrt{3}，2\sqrt{3}}]$．

Answer 1

分析 由|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow{b}$|≥1，可得$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}x+|\overrightarrow{b}{|}^{2}{x}^{2}$的最小值为1，令$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=t$换元，求出f（x）=4x²+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}x$+4=4x²+2tx+4=$4（x+\frac{t}{4}）^{2}+4-\frac{{t}^{2}}{4}$的最小值，由最小值大于等于1求得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的取值范围．

解答 解：由|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=2，由|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow{b}$|≥1，可得$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}x+|\overrightarrow{b}{|}^{2}{x}^{2}$的最小值大于等于1，
即4x²+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}x$+4的最小值大于等于1．
令$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=t$，
则f（x）=4x²+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}x$+4=4x²+2tx+4=$4（x+\frac{t}{4}）^{2}+4-\frac{{t}^{2}}{4}$，
∵f（x）的最小值大于等于1，
∴$4-\frac{{t}^{2}}{4}≥1$，即t²≤12，
∴$-2\sqrt{3}≤t≤2\sqrt{3}$．
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的取值范围是[$-2\sqrt{3}，2\sqrt{3}$]．
故答案为：$[{-2\sqrt{3}，2\sqrt{3}}]$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查数学转化思想方法，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题．