下列是有关三角形ABC的几个命题.①若tanA+tanB+tanC＞0.则△ABC是锐角三角形,②若sin2A=sin2B.则△ABC是等腰三角形,③若($\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$)•$\overrightarrow{BC}$=0.则△ABC是等腰三角形,④若cosA=sinB.则△ABC是直角三角形, 其中正确命题� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．下列是有关三角形ABC的几个命题，
①若tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC是锐角三角形；
②若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰三角形；
③若（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•$\overrightarrow{BC}$=0，则△ABC是等腰三角形；
④若cosA=sinB，则△ABC是直角三角形；
其中正确命题的个数是（　　）

A．

B．

C．

D．

分析 ①根据两角和差的正切公式进行判断．②根据三角函数的倍角公式进行化简判断．③根据向量数量积的应用去判断．④根据三角函数的诱导公式进行化简判断．

解答解：①∵tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB），
∴tanA+tanB+tanC=tan（A+B）（1-tanAtanB）+tanC=tanAtanBtanC＞0，
∴A，B，C是△ABC的内角，故内角都是锐角，故①正确；
②∵sin2A=sin2B
∴sin2A-sin2B=cos（A+B）sin（A-B）=0
∴cos（A+B）=0或sin（A-B）=0
∴A+B=$\frac{π}{2}$或A=B，
若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰三角形或是直角三角形；故②错误
③若（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•$\overrightarrow{BC}$=0，
则（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=0，
即|$\overrightarrow{AB}$|²-|$\overrightarrow{AC}$|²=0，
则|$\overrightarrow{AB}$|²=|$\overrightarrow{AC}$|²，即|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AC}$|，
则AB=AC，则△ABC是等腰三角形；正确，故③正确，
④若cosA=sinB，则sinB=cosA=sin（$\frac{π}{2}-A$），∴$B=\frac{π}{2}-A或B+\frac{π}{2}-A=π$，
即A+B=$\frac{π}{2}$或B-A=$\frac{π}{2}$，则△ABC不一定为直角三角形，故④错误，
故选：B