Question

已知f（x）为定义在R上的偶函数，x≥0，f（x）=x²+4x+3，
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）写出函数f（x）在R上的单调区间，并用定义证明．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数解析式的求解及常用方法

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）运用偶函数的定义和已知解析式，即可求得x＜0的解析式，进而得到f（x）的解析式；
（2）f（x）的单调增区间为[0，+∞），减区间为（-∞，0）．运用单调性证明，注意作差、变形、定符号和下结论几个步骤．

解答： 解：（1）f（x）为定义在R上的偶函数，则f（-x）=f（x），
令x＜0，则-x＞0，
由于x≥0，f（x）=x²+4x+3，则
f（-x）=x²-4x+3，
则x＞0时，f（x）=x²-4x+3，
即有f（x）=

x2+4x+3，x≥0 x2-4x+3，x＜0

；
（2）f（x）的单调增区间为[0，+∞），减区间为（-∞，0）．
证明：设0≤m＜n，则f（m）-f（n）=（m²+4m+3）-（n²+4n+3）
=（m-n）（m+n+4），
由于0≤m＜n，则m-n＜0，m+n+4＞0，
即有f（m）-f（n）＜0，即f（x）在[0，+∞）递增；
设s＜t＜0，则f（s）-f（t）=（s²-4s+3）-（t²-4t+3）
=（s-t）（s+t-4），
由于s＜t＜0，则s-t＜0，s+t-4＜0，
即有f（s）-f（t）＞0，即f（x）在[0，+∞）递减．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用：求解析式，考查运用定义证明单调性，考查运算能力，属于基础题．