Question

在△ABC中，E，F分别是边AC，AB的中点，且3AB=2AC，若恒成立，则t的最小值为    ．

Answer 1

【答案】分析：要求t的最小值，即要求BE与CF比值的最大值，由AB与AC的关系，用AB表示出AC，在△ABE中，由余弦定理表示BE²，在△ACF中，利用余弦定理表示出CF²，并表示出BE与CF的平方比，分离出常数，由A为三角形的内角，得到A的范围，表示比值求出最大值，即可得到t的取值范围．
解答：解：根据题意画出图形，如图所示：

∵3AB=2AC，
∴AC=AB，
又E、F分别为AC、AB的中点，
∴AE=AC，AF=AB，
∴在△ABE中，由余弦定理得：BE²=AB²+AE²-2AB•AE•cosA
=AB²+（AB）²-2AB•AB•cosA=AB²-AB²cosA，
在△ACF中，由余弦定理得：CF²=AF²+AC²-2AF•AC•cosA
=（ AB）²+（ AB）²-2•AB•AB•cosA=AB²-AB²cosA，
∴==
∴==
∵当cosA取最小值时，比值最大，
∴当A→π时，cosA→-1，此时 达到最大值，最大值为 =
则 ＜t恒成立，t的最小值为
故答案为：
点评：此题考查了余弦定理，余弦函数的定义域与值域，以及不等式恒成立时满足的条件，余弦定理建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键