题目内容
（2012•钟祥市模拟）在△ABC中，E，F分别是AC，AB的中点，且3AB=2AC，若
＜t恒成立，则t的最小值为（ ）
| BE |
| CF |
分析：根据题意画出相应的图形，要求t的最小值，即要求BE与CF比值的最大值，方法为：由AB与AC的关系，用AB表示出AC，由E、F分别为AC、AB的中点，在三角形ABE中，由AB，AE及∠A，利用余弦定理表示出BE2，在三角形ACF中，由AF，AC及∠A，利用余弦定理表示出CF2，并表示出BE与CF的平方比，开方并分离出常数，由A为三角形的内角，得到A的范围，观察表示出的比值发现当cosA的值最小时，比值最大，故当A趋于π时，cosA趋于-1，此时比值最大，求出此时的最大值，即可得到t的取值范围．
解答：解：根据题意画出图形，如图所示：
∵3AB=2AC，
∴AC=
AB，
又E、F分别为AC、AB的中点，∴AE=
AC，AF=
AB，
∴在△ABE中，由余弦定理得：BE2=AB2+AE2-2AB•AE•cosA
=AB2+（
AB）2-2AB•
AB•cosA=
AB2-
AB2cosA，
在△ACF中，由余弦定理得：CF2=AF2+AC2-2AF•AC•cosA
=（
AB）2+（
AB）2-2•
AB•
AB•cosA=
AB2-
AB2cosA，
∴
=
=
，
∴
=
=
，
∵当cosA取最小值时，
比值最大，
∴当A→π时，cosA→-1，此时
达到最大值，最大值为
=
，
则
＜t恒成立，t的最小值为
．
故选B
∵3AB=2AC，
∴AC=
| 3 |
| 2 |
又E、F分别为AC、AB的中点，∴AE=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴在△ABE中，由余弦定理得：BE2=AB2+AE2-2AB•AE•cosA
=AB2+（
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 25 |
| 16 |
| 3 |
| 2 |
在△ACF中，由余弦定理得：CF2=AF2+AC2-2AF•AC•cosA
=（
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴
| BE2 |
| CF2 |
| ||||
|
| ||||
|
∴
| BE |
| CF |
|
1-
|
∵当cosA取最小值时，
| BE |
| CF |
∴当A→π时，cosA→-1，此时
| BE |
| CF |
1-
|
| 7 |
| 8 |
则
| BE |
| CF |
| 7 |
| 8 |
故选B
点评：此题考查了余弦定理，余弦函数的定义域与值域，以及不等式恒成立时满足的条件，余弦定理建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
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