题目内容
7．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+3，x∈（-1，0]}\\{3-{x}^{2}，x∈（0，1]}\end{array}\right.$，且f（x）=f（x+2），g（x）=$\frac{3x-7}{x-2}$，则方程g（x）=f（x）-g（x）在区间[-3，7]上的所有零点之和为（ ）| A． | 12 | B． | 11 | C． | 10 | D． | 9 |
分析 分析两函数的性质，在同一坐标系内画出两函数图象，利用数形结合的方法可求．
解答 解：∵f（x）=f（x+2），∴函数f（x）为周期为2的周期函数，
函数g（x）=$\frac{3x-7}{x-2}=3-\frac{1}{x-2}$，其图象关于点（2，3）对称，如图，函数f（x）的图象也关于点（2，3）对称，
函数f（x）与g（x）在[-3，7]上的交点也关于（2，3）对称，
设A，B，C，D的横坐标分别为a，b，c，d，
则a+d=4，b+c=4，由图象知另一交点横坐标为3，
故两图象在[-3，7]上的交点的横坐标之和为4+4+3=11，
即函数y=f（x）-g（x）在[-3，7]上的所有零点之和为11．
故选：B．
点评 本题考查函数的周期性，函数的零点的概念，以及数形结合的思想方法．属于中档题．
练习册系列答案
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| A． | $（\frac{1}{e}，\frac{{{e^2}+2}}{e}）$ | B． | $（\frac{2}{e}，+∞）$ | C． | $（\frac{1}{e}，+∞）$ | D． | $（\frac{{{e^2}+2}}{e}，+∞）$ |
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（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）-（4+2a）x+2，x∈[1，2]，求函数g（x）的最值．
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