Question

已知三角形△ABC中，AB=2，AC²+BC²=10，则△ABC面积最大值是________．

Answer 1

2
分析：依题意，利用余弦定理可求得cosC=，再求得sinC，利用三角形的面积公式与基本不等式即可求得答案．
解答：三角形△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
∵c=2，a²+b²=10，
∴由余弦定理得：cosC===，
∴sin²C=1-cos²C=1-，
∵S_△ABC=absinC，
∴=a²b²sin²C=a²b²（1-）=a²b²-．
∴4+9=a²b²≤=25（当且仅当a²=b²时取等号），
∴≤4．
∴S_△ABCmax=2．
故答案为：2．
点评：本题考查余弦定理，考查诱导公式与三角形面积公式及基本不等式的综合应用，属于难题．