Question

已知三角形ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，设向量

m

=(c-2b，a)，

n

=(cosA，cosC)，且

m

⊥

n

．
（1）求角A的大小；
（2）若

AB

•

AC

=4，求边长a的最小值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得

m

•

n

=0，求得cosA得值，即可得到角A的大小．
（2）由

AB

•

AC

=4求得bccosA=4，求得bc=8，由余弦定理，再利用基本不等式求得边长a的最小值．

解答：解：（1）由

m

⊥

n

得 

m•

n

=(c-2b)cosA+acosC=0⇒2sinBcosA=sinB，
可得cosA=

1

2

⇒A=600．-------（3分）
（2）由

AB

•

AC

=4求得bccosA=4，求得bc=8，可得a²=b²+c²-2bccosA≥2bc-bc=bc=8，
当且仅当b=c=2

2

时取等号，所以a的最小值为2

2

．------（3分）

点评：本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，余弦定理以及基本不等式的应用，属于中档题．