题目内容
（2013•南充一模）已知三角形ABC中，点D是BC的中点，过点D的直线分别交直线AB，AC于E、F两点，若
=λ
（λ＞0），
=μ
（μ＞0），则
+
的最小值是（ ）
| AB |
| AE |
| AC |
| AF |
| 1 |
| λ |
| 4 |
| μ |
分析：由已知可得
=
+
=
+x
=
+x(
-
)=x
+(1-x)
=
+
，
=
(
+
)，从而可得λ，μ的关系，利用基本不等式可求
| AD |
| AE |
| ED |
| AE |
| EF |
| AE |
| AF |
| AE |
| AF |
| AE |
| x |
| μ |
| AC |
| 1-x |
| λ |
| AB |
| AD |
| 1 |
| 2 |
| AB |
| AC |
解答：解：由D，E，F三点共线可设
=x
∵
=λ
（λ＞0），
=μ
（μ＞0）
∴
=
+
=
+x
=
+x(
-
)=x
+(1-x)
=
+
∵D为BC的中点
∴
=
(
+
)
∴
∴
即λ+μ=2
则
+
=
（
+
）（λ+μ）=
+
+
≥
+2=
当且仅当
=
即μ=2λ=
时取等号
故选D
| ED |
| EF |
∵
| AB |
| AE |
| AC |
| AF |
∴
| AD |
| AE |
| ED |
| AE |
| EF |
| AE |
| AF |
| AE |
| AF |
| AE |
=
| x |
| μ |
| AC |
| 1-x |
| λ |
| AB |
∵D为BC的中点
∴
| AD |
| 1 |
| 2 |
| AB |
| AC |
∴
|
∴
|
则
| 1 |
| λ |
| 4 |
| μ |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| λ |
| 4 |
| μ |
| 5 |
| 2 |
| μ |
| 2λ |
| 2λ |
| μ |
| 5 |
| 2 |
| 9 |
| 2 |
当且仅当
| μ |
| 2λ |
| 2λ |
| μ |
| 4 |
| 3 |
故选D
点评：本题主要考查了基本不等式在求解函数的最值中的应用，解题的关键是根据已知向量的知识寻求基本不等式的条件．
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