Question

已知等差数列{a_n}前n项和为S_n（n∈N^*），函数f（x）=x³+x+2（x∈R），若满足f（a₂-2）=5，f（a₂₀₁₄-4）=-1，则S₂₀₁₅=

 

．

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：计算题,函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：令g（x）=f（x）-2，判断g（x）为奇函数且为增函数，f（a₂-2）=5，f（a₂₀₁₄-4）=-1，即为f（a₂-2）-2=3，f（a₂₀₁₄-4）-2=-3，即有g（a₂-2）=-g（a₂₀₁₄-4）=g（4-a₂₀₁₄），由单调性和等差数列的性质及求和公式，即可计算得到．

解答： 解：函数f（x）=x³+x+2即为f（x）-2=x³+x，
令g（x）=f（x）-2，由g（-x）=-x³-x=-g（x），
则g（x）为奇函数，
g′（x）=3x²+1＞0，则g（x）递增．
f（a₂-2）=5，f（a₂₀₁₄-4）=-1，
即为f（a₂-2）-2=3，f（a₂₀₁₄-4）-2=-3，
即有g（a₂-2）=-g（a₂₀₁₄-4）=g（4-a₂₀₁₄），
即有a₂-2=4-a₂₀₁₄，
即a₂+a₂₀₁₄=6，
则有S2015=

1

2

（a₁+a₂₀₁₅）•2015=

1

2

（a₂+a₂₀₁₄）•2015
=

1

2

×6×2015=6045．
故答案为：6045．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：求值，考查等差数列的性质和求和公式的运用，考查运算能力，属于中档题．