Question

10．在封闭的直三棱柱ABC-A₁B₁C₁内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA₁=3，则V的最大值是（　　）

• A． 4π
• B． $\frac{9π}{2}$
• C． 6π
• D． $\frac{32π}{3}$

Answer 1

分析 根据已知可得直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的内切球半径为$\frac{3}{2}$，代入球的体积公式，可得答案．

解答 解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，
∴AC=10．
故三角形ABC的内切圆半径r=$\frac{6+8-10}{2}$=2，
又由AA₁=3，
故直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的内切球半径为$\frac{3}{2}$，
此时V的最大值$\frac{4}{3}π•（\frac{3}{2}）^{3}$=$\frac{9π}{2}$，
故选：B

点评 本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键．