题目内容

已知向量a=（cosx,sinx）,b=(cos,-sin)，且x∈［0, ］.

（1）求a·b及|a+b|；

（2）若f(x)=a·b-2λ|a+b|的最小值是-，求实数λ的值.

解:（1）a·b=cosxcos-sinxsin=cos2x,

|a+b|=

==2.

∵x∈［0, ］,∴cosx≥0.

∴|a+b|=2cosx.

(2)f(x)=cos2x-4λcosx=2cos2x-1-4λcosx，

即f(x)=2(cosx-λ)2-1-2λ2.

∵x∈［0, ］,

∴0≤cosx≤1.

①当λ＜0，当且仅当cosx=0时，f(x)取得最小值-1，这与已知矛盾；

②当0≤λ≤1,当且仅当cosx=λ时，f(x)取得最小值-1-2λ2,由已知得-1-2λ2=-，解得λ=;

③当λ＞1,当且仅当cosx=1时，f(x)取得最小值1-4λ，由已知得1-4λ=-,

解得λ=,这与λ＞1相矛盾.

综上所述，λ=即为所求.

练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=（cosα，1），
b
=（-2，sinα），α∈(π，
3π
2
)，且
a
⊥
b

（1）求sinα的值；
（2）求tan(α+
π
4
)的值．
已知向量
a
=（cos（-θ），sin（-θ）），
b
=(cos(
π
2
-θ)，sin(
π
2
-θ))．
（1）求证：
a
⊥
b
．
（2）若存在不等于0的实数k和t，使
x
=
a
+（t2+3）
b
，
y
=（-k
a
+t
b
），满足
x
⊥
y
，试求此时
k+t2
t
的最小值．
已知向量
a
=（cosθ，sinθ），θ∈[0，π]，向量
b
=（
3
，1），b=(
3
，1)，
a
∥
b
，则θ=
 
．
已知向量
a
=（cosα，sinα），
b
=（sinβ，-cosβ），则|
a
+
b
|最大值为（　　）
已知向量
a
=（cosθ，sinθ），向量
b
=（2
2
，-1），则|3
a
-
b
|的最大值是
 
．

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