Question

已知向量

a

=（cosα，1），

b

=（-2，sinα），α∈(π，

3π

2

)，且

a

⊥

b

（1）求sinα的值；
（2）求tan(α+

π

4

)的值．

Answer 1

分析：（1）先根据

a

⊥

b

等价于

a

•

b

=0，得到角α正余弦之间的关系，再由同角三角函数的基本关系可求得sinα的值．
（2）先根据（1）中结果求出cosα的值，进而可得tanα的值，再由两角和与差的正切公式得到最好答案．

解答：解：（Ⅰ）由向量

a

=（cosα，1），

b

=（-2，sinα），α∈(π，

3π

2

)，且

a

⊥

b

．
得

a

•

b

=（cosα，1）•（-2，sinα）=0．
即-2cosα+sinα=0．
所以cosα=

1

2

sinα．
因为sin²α+cos²α=1，
所以sin2α=

4

5

．
因为α∈(π，

3π

2

)，
所以sinα=-

2 5

5

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得cosα=-

5

5

．
则tanα=2.tan(α+

π

4

)=

tanα+1

1-tanα

=-3．

点评：本题主要考查向量的运算、同角三角函数的基本关系和两角和与差的正切公式．考查综合运用能力．