题目内容

已知向量
a
=（cos（-θ），sin（-θ）），
b
=(cos(
π
2
-θ)，sin(
π
2
-θ))．
（1）求证：
a
⊥
b
．
（2）若存在不等于0的实数k和t，使
x
=
a
+（t2+3）
b
，
y
=（-k
a
+t
b
），满足
x
⊥
y
，试求此时
k+t2
t
的最小值．
分析：（1）利用向量的数量积公式求出
a
•
b
，利用三角函数的诱导公式化简得数量积为0，利用向量垂直的充要条件得证．
（2）利用向量垂直的充要条件列出方程，利用向量的运算律化简方程，将方程中的k用t表示，代入
k+t2
t
，利用二次函数最值的求法求出最小值．
解答：解：（1）证明∵
a
•
b
=cos（-θ）•cos（
π
2
-θ）+sin（-θ）•sin(
π
2
-θ)=sinθcosθ-sinθcosθ=0．
∴
a
⊥
b
．
（2）解由
x
⊥
y
得
x
•
y
=0，
即[
a
+（t2+3）
b
]•（-k
a
+t
b
）=0，
∴-k
a
2+（t3+3t）
b
2+[t2-k（t+3）]
a
•
b
=0，
∴-k|
a
|2+（t3+3t）|
b
|2=0．
又|
a
|2=1，|
b
|2=1，
∴-k+t3+3t=0，
∴k=t3+3t．
∴
k+t2
t
=
t3+t2+3t
t
=t2+t+3=(t+
1
2
)22+
11
4
．
故当t=-
1
2
时，
k+t2
t
有最小值
11
4
．
点评：本题考查向量垂直的充要条件、向量的运算律、二次函数最值的求法．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=（cosα，1），
b
=（-2，sinα），α∈(π，
3π
2
)，且
a
⊥
b

（1）求sinα的值；
（2）求tan(α+
π
4
)的值．
已知向量
a
=（cosθ，sinθ），θ∈[0，π]，向量
b
=（
3
，1），b=(
3
，1)，
a
∥
b
，则θ=
 
．
已知向量
a
=（cosα，sinα），
b
=（sinβ，-cosβ），则|
a
+
b
|最大值为（　　）
已知向量
a
=（cosθ，sinθ），向量
b
=（2
2
，-1），则|3
a
-
b
|的最大值是
 
．

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