题目内容
【题目】已知函数
（
，
为常数）在
内有两个极值点
，
（
）
（1）求实数的取值范围；
（2）求证：
.
【答案】(1) 
(2)见证明
【解析】
（1）推导出x＞0，f′（x）＝
，设h（x）＝ex﹣1﹣ax，x＞0，则y＝h（x）在（0，2）上存在两个零点，由h′（x）＝ex﹣1﹣a，由此能求出实数a的取值范围；
（2）令H（x）＝h（x）﹣h（2+2lna﹣x），0＜x＜1+lna，则H′（x）＝h′（x）+h′（2+2lna﹣x）
0，从而H（x）在（0，1+lna）上递增，进而H（x）＜H（1+lna）＝0，由此能证明
＜2（1+lna）．
解：（1）由
，可得
，
记
，有题意，知
在
上存在两个零点.
则
当
时，
，则
在上递增，至少有一个零点，不合题意；
当
时，由
，得
（i）若
且
，即时，在
上递减，
递增；
则
，则
，
从而在和上各有一个零点。
所以在上存在两个零点.
（ii）若
，即
时，在上递减，至多一个零点，舍去.
（iii）若且
，即
时，此时在上有一个零点，而在上没有零点，舍去.
综上可得，.
（2）令
则
，
，
，
所以，
在上递减，从而
，
即
而
，且在递增；
，
.
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