Question

（2011•济南二模）济南市开展支教活动，有五名教师被随机的分到A、B、C三个不同的乡镇中学，且每个乡镇中学至少一名教师，
（1）求甲乙两名教师同时分到一个中学的概率；
（2）求A中学分到两名教师的概率；
（3）设随机变量X为这五名教师分到A中学的人数，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析：（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件总数

1

2

C

2 5

C

2 3

A

3 3

+

C

3 5

A

3 3

，满足条件的事件是甲乙两位教师同时分到一个中学有C₃²A₃³+C₃¹A₃³种结果，根据概率公式得到结果．
（2）本题是一个古典概型，基本事件总数

1

2

C

2 5

C

2 3

A

3 3

+

C

3 5

A

3 3

，满足条件是事件是A中学分到两名教师共有C₅²C₃²A₂²，得到结果．
（3）根据题意，得到变量的可能取值，结合变量对应的事件写出变量的概率，根据变量和概率的值写出分布列，做出期望值．

解答：解：（1）由题意知本题是一个古典概型，
设甲乙两位教师同时分到一个中学为事件A，
基本事件总数

1

2

C

2 5

C

2 3

A

3 3

+

C

3 5

A

3 3

=150
满足条件的事件数C₃²A₃³+C₃¹A₃³=36
∴P（A）=

36

150

=

6

25

（2）由题意知本题是一个古典概型，
基本事件总数

1

2

C

2 5

C

2 3

A

3 3

+

C

3 5

A

3 3

=150
满足条件是事件是A中学分到两名教师共有C₅²C₃²A₂²=60
∴根据古典概型概率公式知有P=

60

150

=

2

5

（3）由题知X取值1，2，3．
P（X=1）=

7

15

P（X=2）=

2

5

，
P（X=3）=

2

15

．
∴分布列为

X	1	2	3
P	7 15	2 5	2 15

∴期望值是EX=1×

7

15

+2×

2

5

+3×

2

15

=

5

3

点评：求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．