Question

椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率e=,a+b=3.

(1)求椭圆C的方程;

(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意一点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m.证明2m-k为定值.

Answer 1

 (1)解:因为e==,

所以a=c,b=c.

代入a+b=3,

得c=,a=2,b=1.

故椭圆C的方程为+y2=1.

(2)证明:因为B(2,0),P不为椭圆顶点,

则直线BP的方程为y=k(x-2)（k≠0,k≠±）,           ①

把①代入+y2=1,

解得P.

直线AD的方程为y=x+1.②

①与②联立解得M.

由D(0,1),P，N(x,0)三点共线知

=,

解得N.

所以MN的斜率为m=

=

=,

则2m-k=-k=(定值).