Question

4．已知向量$\overrightarrow{a}$═（cosθ，sinθ），向量$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$，-1）
（1）求|$\overrightarrow{a}$|；
（2）若向量$\overrightarrow{a}$与向量$\overrightarrow{b}$是平行向量，求向量$\overrightarrow{a}$和θ：
（3）若向量$\overrightarrow{a}$与向量$\overrightarrow{b}$方向相反，求tanθ+cotθ的值．

Answer 1

分析 （1）利用数量积运算性质即可得出；
（2）利用向量共线定理可得：tanθ=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，θ=kπ-$\frac{π}{6}$（k∈Z），对k分类讨论即可得出；
（3）向量$\overrightarrow{a}$与向量$\overrightarrow{b}$方向相反，可得cosθ=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，sinθ=$\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{a}$=$（-\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}）$，即可得出．

解答 解：（1）$|\overrightarrow{a}|$=$\sqrt{co{s}^{2}θ+si{n}^{2}θ}$=1；
（2）∵$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$，
∴$\sqrt{3}sinθ$+cosθ=0，
∴tanθ=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得θ=kπ-$\frac{π}{6}$（k∈Z），
∴当k为偶数时，cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，sinθ=$-\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{a}$=$（\frac{\sqrt{3}}{2}，-\frac{1}{2}）$；
当k为奇数时，cosθ=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，sinθ=$\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{a}$=$（-\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}）$．
（3）∵向量$\overrightarrow{a}$与向量$\overrightarrow{b}$方向相反，
∴cosθ=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，sinθ=$\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{a}$=$（-\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}）$．
∴tanθ=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴tanθ+cotθ=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$-$\sqrt{3}$=-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了数量积运算性质、向量公式定理、三角函数求值，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．