Question

【题目】如图，三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，，底面，点分别为，的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）存在；是的中点

【解析】

（1）由底面，可得，再由，利用线面垂直的判定定理得到平面，根据平面，由面面垂直的判定定理证明即可.

（2）由两两垂直，以为坐标原点，分别以的正方向为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，设，表示的坐标，根据直线与平面所成的角的余弦值为，由求解.

（1）因为底面，底面，

所以，

易知，

所以平面，..

因为平面，

所以平面平面

（2）因为两两垂直，所以以为坐标原点，分别以的正方向为轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则，

，

设平面的一个法向量为，

由，得，

不妨设，则，所以，

设，则，

由题知：，

即，

解得，

所以在线段上存在点为PB的中点，使得直线与平面所成的角的余弦值为.