Question

已知A，B是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左，右顶点，B（2，0），过椭圆C的右焦点F的直线交椭圆于点M，N，交直线x=4于点P，且直线PA，PF，PB的斜率成等差数列，R和Q是椭圆上的两动点，R和Q的横坐标之和为2，RQ的中垂线交X轴于T点
（1）求椭圆C的方程；
（2）求三角形MNT的面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）由题设知a=2，b=

3

．由此能求出椭圆C的方程．
（2）由点差法知PQ的中垂线交x轴于T(

1

4

，0)，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线MN：x=my+1与椭圆联立可得（3m²+4）y²+6my-9=，0|y1-y2|2=

36m2

(3m2+4)2

+

36

3m2+4

=144

m2+1

(3m2+4)2

，由此能求出三角形MNT的面积的最大值．

解答：解：（1）由题设知a=2，b=

3

椭圆C的方程

x2

4

+

y2

3

=1
（2）由点差法知PQ的中垂线交x轴于T(

1

4

，0)
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线MN：x=my+1与椭圆联立可得（3m²+4）y²+6my-9=0|y1-y2|2=

36m2

(3m2+4)2

+

36

3m2+4

=144

m2+1

(3m2+4)2

令t=m²+1≥1，则|y1-y2|2=144

t

(3t+1)2

=144

1

9t+ 1 t +6

≤9
故Smax=

1

2

×

3

4

×3=

9

8

点评：本题考查椭圆C的方程，求△MNT的面积的最大值．解题时要认真审题，仔细解答，注意椭圆性质的合理运用．