Question

已知A，B是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)长轴的两个端点，C，D是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AC，BD的斜率分别为k₁，k₂，且k₁k₂≠0．若|k₁|+|k₂|的最小值为

3

，则椭圆的离心率为

1

2

．

Answer 1

分析：设A，B两点的坐标分别为（-a，0），（a，0），CD两点的坐标分别为（acosα，bsinα），（acosα，-bsinα），代入两点之间斜率公式，结合|k₁|+|k₂|的最小值为

3

，可得a，b的关系，进而求出椭圆的离心率．

解答：解：不妨令A，B两点的坐标分别为（-a，0），（a，0）
CD两点的坐标分别为（acosα，bsinα），（acosα，-bsinα）
故k₁=

bsinα

a+acosα

，k₂=

bsinα

a-acosα

，
故|k₁|+|k₂|=

2b

a|sinα|

，
又∵|k₁|+|k₂|的最小值为

3

，
∴

2b

a

=

3

即4b²=3a²
故e=

a2-b2 a2

=

1

2

故答案为：

1

2

点评：本题考查的知识点是椭圆的简单性质，椭圆的离心率，其中根据已知求出a，b的关系是解答的关键．