Question

已知函数f（x）=

x+a

x+1

，g（x）=（1-a）e^x
（I）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-3y+1=0平行，求实数a的值；
（II）当0＜a＜1时，求函数F（x）=f（x）-g（x）在x∈（0，1]上的值域．

Answer 1

分析：（I）由f（x）=

x+a

x+1

，知f′（x）=

1-a

(x+1)2

，再曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-3y+1=0平行，能求出a的值．
（II）由F（x）=f（x）-g（x）=

x+a

x+1

-（1-a）e^x，知F′（x）=

1-a

(x+1)2

-（1-a）e^x=（1-a）[

1

(x+1)2

-e^x]，由0＜a＜1，x∈（0，1]，推导出F（x）=f（x）-g（x）在x∈（0，1]上是减函数，由此能求出函数F（x）=f（x）-g（x）在x∈（0，1]上的值域．

解答：解：（I）∵f（x）=

x+a

x+1

，
∴f′（x）=

1-a

(x+1)2

，
∵曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-3y+1=0平行，
∴f′(1)=

1-a

4

=

1

3

，解得a=-

1

3

．
（II）∵f（x）=

x+a

x+1

，g（x）=（1-a）e^x，
∴F（x）=f（x）-g（x）=

x+a

x+1

-（1-a）e^x，
∴F′（x）=

1-a

(x+1)2

-（1-a）e^x=（1-a）[

1

(x+1)2

-e^x]，
∵0＜a＜1，x∈（0，1]，
∴1-a＞0，

1

(x+1)2

-e^x＜0，
∴F′（x）＜0，
∴F（x）=f（x）-g（x）在x∈（0，1]上是减函数，
∵F（0）=a-1+a=2a-1，
F（1）=

1+a

2

-（1-a）e，
∴函数F（x）=f（x）-g（x）在x∈（0，1]上的值域为[

1+a

2

-（1-a）e，2a-1）．

点评：本题考查导数的几何意义的应用，考查函数的值域的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．