Question

18．已知函数$f（x）=a{x^2}+blnx，a，b∈R，f（1）=\frac{1}{2}，f'（2）=1$．
（Ⅰ）求f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）在区间$[{1，\sqrt{e}}]$上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，由条件解方程可得a，b，求得切点和切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程；
（Ⅱ）求出函数的导数，求得f（x）在区间$[{1，\sqrt{e}}]$上的单调区间，可得极小值也为最小值，求得端点处的函数值，可得最大值，即可得到函数的值域．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=ax²+blnx的导数为f′（x）=2ax+$\frac{b}{x}$，
由f（1）=$\frac{1}{2}$，f′（2）=1，可得a=$\frac{1}{2}$，4a+$\frac{b}{2}$=1，
解方程可得b=-2，即有f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2lnx，f′（1）=-1，
则在点（1，f（1））处的切线方程为y-$\frac{1}{2}$=-（x-1），
即为2x+2y-3=0；
（Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）=x-$\frac{2}{x}$=$\frac{（x-\sqrt{2}）（x+\sqrt{2}）}{x}$，
当1＜x＜$\sqrt{2}$时，f′（x）＜0，f（x）递减；
当$\sqrt{2}$＜x＜$\sqrt{e}$时，f′（x）＞0，f（x）递增．
即有f（x）在x=$\sqrt{2}$处取得极小值，也为最小值，且为1-ln2；
f（1）=$\frac{1}{2}$，f（$\sqrt{e}$）=$\frac{1}{2}$e-1，
由f（$\sqrt{e}$）-f（1）=$\frac{e-3}{2}$＜0，即有f（$\sqrt{e}$）＜f（1），
则f（x）的值域为[1-ln2，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查运算能力，属于中档题．