Question

【题目】已知函数， ．

（Ⅰ）求函数在区间上的最小值；

（Ⅱ）证明：对任意， ，都有成立．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.　

【解析】试题分析：（Ⅰ）由，当， ， 单调递增，所以函数在区间上单调递增， 在区间上的最小值为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知（）在时取得最小值，可知．由，可得，所以当时， ， 单调递增；当时， ， 单调递减．

所以函数（）在时取得最大值，又，可知，

所以对任意， ，都有成立．

试题解析：（Ⅰ）解：由，可得．

当， ， 单调递减；

当， ， 单调递增．

所以函数在区间上单调递增，

又，所以函数在区间上的最小值为．

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知（）在时取得最小值，

又，可知．

由，可得，

所以当时， ， 单调递增；

当时， ， 单调递减．

所以函数（）在时取得最大值，

又，可知，

所以对任意， ，都有成立．