Question

12．已知函数f（x）=（2a-1）x-$\frac{1}{2}$cos2x-a（sinx+cosx）在[0，$\frac{π}{2}$]上单调递增，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-∞，$\frac{1}{3}$]
• B． [$\frac{1}{3}$，1]
• C． [0，+∞）
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 求出函数f（x）的导数，问题转化为a≥$\frac{{（sinx-cosx）}^{2}}{2+sinx-cosx}$在[0，$\frac{π}{2}$]恒成立，令g（x）=$\frac{{（sinx-cosx）}^{2}}{2+sinx-cosx}$，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：f（x）=（2a-1）x-$\frac{1}{2}$cos2x-a（sinx+cosx），
f′（x）=2a-1+sin2x-a（cosx-sinx），
若f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]递增，
则f′（x）≥0在[0，$\frac{π}{2}$]恒成立，
即a≥$\frac{{（sinx-cosx）}^{2}}{2+sinx-cosx}$在[0，$\frac{π}{2}$]恒成立，
令g（x）=$\frac{{（sinx-cosx）}^{2}}{2+sinx-cosx}$，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
则g′（x）=$\frac{（sinx+cosx）（sinx-cosx）（4+sinx）}{{（2+sinc-cosx）}^{2}}$，
令g′（x）＞0，即sinx＞cosx，解得：x＞$\frac{π}{4}$，
令g′（x）＜0，即sinx＜cosx，解得：x＜$\frac{π}{4}$，
故g（x）在[0，$\frac{π}{4}$）递减，在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]递增，
故g（x）_max=g（0）或g（$\frac{π}{2}$），
而g（0）=1，g（$\frac{π}{2}$）=$\frac{1}{3}$，
故a≥1，
故选：D．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．