Question

7．已知双曲线的两个焦点坐标是（0，±3），且该双曲线经过点（$\sqrt{15}$，4），求这个双曲线的标准方程．

Answer 1

分析 由题意可设双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），由题意可得c=3，再由双曲线的定义和两点的距离公式，可得a，由a，b，c的关系可得b，即可得到所求双曲线的标准方程．

解答 解：由题意可设双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
由题意可得c=3，
由双曲线的定义可得2a=|$\sqrt{15+（4-3）^{2}}$-$\sqrt{15+（4+3）^{2}}$|=|4-8|=4，
解得a=2，
则b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{9-4}$=$\sqrt{5}$．
则双曲线的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{5}$=1．

点评 本题考查双曲线的标准方程，注意运用双曲线的定义和基本量的关系，考查运算能力，属于基础题．